ENCUENTRE EL NÚMERO DE MANERAS DE COLOREAR LOS VÈRTICES DE UN CUBO CON r COLORES.

Para resolver este ejercicio primero se deben calcular las simetrías del cubo.

La rotación a lo largo de los vértices opuestos 2-6 nos darán las simetrías:

1 2 3 4 5 6 7 8

5 6 7 8 4 2 3 1

1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 2 3 6 5 1 4

1 2 3 4 5 6 7 8

3 8 6 4 2 7 5 1

Rotando en sentido opuesto tenemos las simetrías:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 4 6 5 2 3 8 7

1 2 3 4 5 6 7 8

7 5 3 6 8 1 4 2

1 2 3 4 5 6 7 8

4 8 1 3 2 7 5 6

Si el eje de rotación se traza a lo largo de los vértices opuestos 1-8 se obtienen:

1 2 3 4 5 6 7 8

6 5 1 4 2 3 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 8 7 4 6 5 1

1 2 3 4 5 6 7 8

5 6 2 8 7 4 1 3

Girándolo en sentido contrario:

1 2 3 4 5 6 7 8

4 3 5 6 1 7 8 2

1 2 3 4 5 6 7 8

7 2 5 3 4 8 1 6

1 2 3 4 5 6 7 8

3 4 1 2 5 6 8 7

Si el eje se encuentra a lo largo de los vértices 4-7 se tiene:

1 2 3 4 5 6 7 8

8 6 3 4 1 5 7 2

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 1 5 7 8 6 4

1 2 3 4 5 6 7 8

6 3 5 2 4 1 8 7

Opuestamente tenemos:

1 2 3 4 5 6 7 8

5 2 1 4 6 7 3 8

1 2 3 4 5 6 7 8

3 5 1 6 4 2 8 7

1 2 3 4 5 6 7 8

1 6 3 4 5 2 8 7

Rotando en ambos sentidos al atravesar un eje por los vértices opuestos 3-5 obtenemos las 6 simetrías restantes.

Así, se ha obtenido un subgrupo S₈ con 24 elementos.

Por el teorema de Polya tenemos que las formas de colorear los vértices de un cubo con r colores está dada por la siguiente fórmula:

| ∆ | = 1/24 * [r⁶ + 6r³ + 3r⁴ + 8r² + 6r³]